Moduł I — Liczby rzeczywiste

Potęgi o wykładniku całkowitym i wymiernym

21 minLekcja wideoDarmowa

Teoria

Obejrzyj nagranie, zanim przejdziesz do zadań.

Zadania (24)

Rozwiąż samodzielnie, zanim zajrzysz do rozwiązań.

1.
Liczba $3^{-2}\cdot 3^{5}$ jest równa:
2.
Liczba $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$ jest równa:
3.
Wartość wyrażenia $5^{0}+5^{-1}$ jest równa:
4.
Dane są liczby $x=8\cdot 10^{-4}$ oraz $y=4\cdot 10^{2}$ . Iloczyn $x\cdot y$ jest równy:
5.
Liczba $2^{12}\cdot 8^{-3}$ jest równa:
6.
Iloczyn $81^{2}\cdot 9^{4}$ jest równy:
7.
Liczba $\left(\frac{1}{9}\right)^{4}\cdot 27^{2}$ jest równa:
8.
Iloraz $4^{-3}:2^{-5}$ jest równy:
9.
Iloraz $32^{-3}:\left(\frac{1}{8}\right)^{4}$ jest równy:
10.
Liczba $3^{4}\cdot 5^{4}$ jest równa:
11.
Iloraz $6^{10}:3^{10}$ jest równy:
12.
Liczba $5^{8}\cdot 16^{-2}$ jest równa:
13.
Liczba $(9^{5}\cdot 5^{9}):45^{5}$ jest równa:
14.
Liczba $(4^{5}\cdot 5^{4}):20^{4}$ jest równa:
15.
Liczba $\frac{1}{2}\cdot 2^{2014}$ jest równa:
16.
Połowa sumy $4^{28}+4^{28}+4^{28}+4^{28}$ jest równa:
17.
Liczba $16^{\frac{3}{4}}$ jest równa:
18.
Liczba $\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{2}$ jest równa:
19.
Dla każdej dodatniej liczby $x$ iloraz $x^{\frac{3}{4}}:x^{\frac{1}{4}}$ jest równy:
20.
Oblicz $(\sqrt[5]{3})^{10}$ .
21.
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n\ge 0$ liczba $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}$ jest podzielna przez $19$ .
Kryteria oceniania (2 punkty)
1 pktZapisanie wyrażenia w postaci $7^n\cdot(1+7+7^2)$ (wyłączenie $7^n$ przed nawias).
1 pktPoprawne przekształcenia i pełne rozumowanie: $1+7+7^2=57=3\cdot 19$ , więc $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}=19\cdot 3\cdot 7^n$ , a ponieważ $3\cdot 7^n$ jest liczbą całkowitą dla $n\ge 0$ , liczba jest podzielna przez $19$ . Drugi punkt można dostać tylko razem z pierwszym.
Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości $n$ , otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zastosowanie niepoprawnej metody (np. błędne działania na potęgach, jak $7^n+7^{n+1}=7^{2n+1}$ ) oznacza 0 punktów.
Zdjęcie trafia do modelu Claude i nie jest u nas zapisywane. Ocena jest orientacyjna — rozstrzyga egzaminator.
CKE, Matura PP, czerwiec 2026, Formuła 2023 (MMAP-P0-100-2606), zad. 5
22.
Wykaż, że liczba $8^{50}-2^{145}$ jest podzielna przez $31$ .
Kryteria oceniania (2 punkty)
1 pktPrzekształcenie wyrażenia $8^{50}-2^{145}$ do postaci $2^{150}-2^{145}$ .
1 pktPoprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania: $2^{150}-2^{145}=2^{145}\cdot(2^5-1)=2^{145}\cdot 31$ , a ponieważ $2^{145}$ jest liczbą całkowitą, liczba $8^{50}-2^{145}$ jest podzielna przez $31$ . Drugi punkt można dostać tylko razem z pierwszym.
Rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, oraz brak rozwiązania oznaczają 0 punktów za całe zadanie.
Błędy rachunkowe przy poprawnej metodzie oznaczają najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
Zdjęcie trafia do modelu Claude i nie jest u nas zapisywane. Ocena jest orientacyjna — rozstrzyga egzaminator.
CKE, Matura PP, sierpień 2025, Formuła 2023 (MMAP-P0-100-2508), zad. 5
23.
Udowodnij, że liczba $3^{45}+9^{22}+27^{14}$ jest podzielna przez $37$ .
Kryteria oceniania (2 punkty)
1 pktPrzekształcenie wyrażenia $3^{45}+9^{22}+27^{14}$ do postaci $3^{45}+3^{44}+3^{42}$ .
1 pktPrzekształcenie wyrażenia $3^{45}+9^{22}+27^{14}$ do postaci $3^{42}\cdot 37$ . Drugi punkt można dostać tylko razem z pierwszym.
Rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, oraz brak rozwiązania oznaczają 0 punktów za całe zadanie.
Zdjęcie trafia do modelu Claude i nie jest u nas zapisywane. Ocena jest orientacyjna — rozstrzyga egzaminator.
CKE, Informator o egzaminie maturalnym z matematyki jako przedmiotu obowiązkowego (poziom podstawowy) od roku szkolnego 2024/2025, zad. 7
24.
Liczba $\left(\frac{4}{25}\right)^{-0{,}5}$ jest równa:
CKE, Matura PP, sierpień 2024, Formuła 2023 (MMAP-P0-100-2408), zad. 2

Materiały do pobrania

Notatki i arkusz zadań w PDF.

Notatka do lekcji (PDF)

865 KB

Pobierz